2018-04-23
“美丽有两种. 一是深刻又动人的方程. 一是你泛着倦意淡淡的笑容。”
最近喜欢上了一个女孩，借UKIM的这句很抒情的话抒情下吧。 我希望对后一种美丽，最后有可解的答案。
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考虑如上十分简陋的一列质量为\(m\)的小质点（即0），相邻之间的长度为\(h\)，弹簧（即折线）的弹簧劲度系数为\(k\)，则我们有：
\(F_{Newton}=m\cdot a(t)=m\cdot \frac {\partial^2}{\partial t^2}\cdot u(x+h,t)\) \(F_{Hooke}=F_{x+2h}+F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]+k[u(x,t)-u(x+h,t)]\)
由分析力学中的达朗贝尔原理，位于\(x+h\)处质点的运动方程为：
\[m\cdot \frac {\partial^2}{\partial t^2}\cdot u(x+h,t)=k[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]\]如果我们规定，有\(N\)个质点作用在\(L=Nh\)长度的弹簧上，总质量为\(M=Nm\),其中链的总劲度系数为\(K=k/N\),则总体的运动方程为:
\[\frac {\partial^2}{\partial t^2}\cdot u(x+h,t)=\frac {KL^2}{M}\cdot \frac {u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)}{h^2}\]我们取\(N\rightarrow\infty\),\(h\rightarrow 0\)，则有
\[\frac {\partial^2}{\partial t^2}\cdot u(x+h,t)=\frac {KL^2}{M}\cdot \frac {\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}\]这就是著名的偏微分方程————弦振动方程。
令\(c=\sqrt {\frac {KL^2}{M}}\)
则波动方程可表示为算子形式： \([\frac {\partial}{\partial t}-c\frac {\partial}{\partial x}][\frac {\partial}{\partial t}+c\frac {\partial}{\partial x}]u=0\)
则其通解可表示为： \(u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)\) 考虑初值条件:
\[\begin{cases} u(x,0)=f(x)\\ u_{t}(x,0)=g(x) \end{cases}\]代入可得达朗贝尔行波解： \(u(x,t)=\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}+\frac {1}{2c}\int_{x+ct}^{x-ct}g(s)ds\)
根据伯努利分离变数法，可设\(u(x,t)=T(t)\varphi(x)\)
\[\left\{ \begin{array}{rcl} T''(t)+c^2\varphi ^2T(t)=0\\ \varphi''(x)+\varphi(x)=0 ,& {\varphi(0)=\varphi(L)=0} \end{array} \right.\]根据固有值问题我们可令：
\(\lambda_{n}=(\frac {n\pi}{L})^2\),\((x)=sin\frac {n\pi x}{L}\)
将\lambda_{n}代入T满足的方程，令T解为： \(T_{n}(x)=a_{n}cos\frac{n\pi ct}{L}+b_{n}sin\frac{n\pi ct}{L}\)
根据初值与正交可确定傅里叶系数，最终我们得到傅里叶级数为:
\[f(x)=\sum_{-\infty}^{+\infty}C_{n}e^{i\frac{n\pi x}{2}}\]其中\(c_{n}\)为\(c_{n}=\frac {1}{2L}\int_{-L}^{l} f(x)\cdot e^{i\frac {n\pi x}{2}}dx\)
之后傅里叶将函数由\((-L,+L)\)推广至无穷，得到我们现在常用的傅里叶变换，下面给出现代分析中的定义:
\[\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}e^{-2\pi ix\cdot\xi}f(x)dx,\xi\in\mathbb{R}\]后面还会有好多工作，不过不在今天和这篇文章里面写了，有些累喽。 今天写的内容，里面还有一些不清晰的，需要查阅一些资料。