2017-12-30
来自吉米多维奇数学分析习题集第(2551)题目，有一些有意思的地方：
\[\sum_{n=1}^\infty f(n) = qsin\alpha + q^2sin\alpha^2 + \cdots + q^nsin\alpha^n + \cdots （\lvert q \rvert <1）\]1，求解\(f(n)\)连加之和.
2，若上式中\(sin\alpha\)换为\(cos\alpha\)，则其\(\sum_{n=1}^\infty f(n)\)会发生什么变化，结果是多少.
解决思路：这个题目的有趣之处在于1,2问是在一块的，思路对了可以两个同时解出，否则1，2全都解决不了。
关键思想在于,若我们假设： \(z=q(cos\alpha + isin\alpha)\) 则有： \(f(n) = \begin{cases} \sum_{n=1}^\infty z^n=\sum_{n=1}^\infty q^ncosn\alpha + i\sum_{n=1}^\infty q^nsinn\alpha,&\text{(1)} \\ \sum_{n=1}^\infty z^n=\frac {1}{1-z}=\frac {1}{1-qcos\alpha-iqsin\alpha},&\text{(2)} \end{cases}\)
我们只需要比较\((1)(2)\)对应的虚实部分即可得出:
对于\((2)\)我们有化简 \(\frac {1}{1-qcos\alpha-iqsin\alpha} = \frac {(1-qcos\alpha)+iqsin\alpha}{1-2qcos\alpha+q^2}, (3)\) 之后比较\((1)(3)\)，我们容易得到1，2问的全部结果。
这个问题答案使用了一个原来没有见过的公式，即棣莫弗定理： \(\begin{equation}\begin{split} cos(nx) + isin(nx)&= (cosx + isinx)^n\\ &=\sum_{k=0}^n[C_n^k(isinx)^n(cosx)^{n-k}] \end{split}\end{equation}\)