交换群在几何与组合中的应用
2018-03-25
这周接连两个重量级的科学奖公布了名单，一是数学的阿尔贝奖，一是计算机的图灵奖。
阿尔贝奖给了朗兰兹，可以说是实至名归了。恰恰这周主要在学习群论之中的知识，朗兰兹最著名的莫过于其提出的朗兰兹纲领，19世界也有一个特有名的纲领，即是克莱因的爱尔兰纲领，是联系群论与几何的一条路。这条路的基石就是变换群与几何不变量之间的关系。
与变换群一个十分相仿的概念是置换群，其常常作用于组合数学的计数之中，在ACM题目中常见，比如2001年国家集训队队员符文杰的论文《Pólya原理及其应用》。个人现在学的不好，老是感觉这两个群差不多，也说不出这两个群可不可以进行交叉的应用，随着学习的深入之后再来回答吧。
先给出它们两个基础的定义：
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定义1：非空集合\(A\)的所有一一变换关于变换的乘法所作成的群叫做\(A\)的一一变换群，用\(E(A)\)表示，\(E(A)\)的子群叫做变换群。
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定义2：当\(A\)是一个有限集合时，\(A\)中的一个一一变换称为一个\(n\)元置换，由置换构成的群叫做置换群。因此置换群是变换群的一个特殊类型。